La ecuación general de una recta es una expresión
matemática de tipo Ax + By + C = 0,
siendo A, B y C números reales, y además A y B no pueden ser simultáneamente
nulos. En ella, -A/B
representa la pendiente y -C/B señala la ordenada en el origen cuando B sea
diferente a cero. Esta ecuación aporta datos suficientes para representar
cualquier recta en el plano cartesiano.
La
ecuación general de la función afín que hemos visto a lo largo de este blog no
contempla las rectas de pendiente infinita, es decir una recta vertical,
paralela al eje de las ordenadas. Por ello se ha creado la ecuación general de
la recta.
Construcción de la ecuación de la recta
Existen dos
formas para conseguir la ecuación de una recta, a saber:
·
Conociendo dos puntos
en ella o
·
Conociendo su pendiente
y un punto en ella (sea cualquier punto o la ordenada en el origen)
·
Conociendo un punto de
ella y la ecuación de una recta paralela
·
Conociendo
dos puntos en ella.
Si P(x1, y1) y Q(x2, y2) son dos puntos de una misma recta,
puede obtenerse su ecuación utilizando la siguiente ecuación:
Ejemplo 1:
Determina
la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 1) y Q(3, 4)
Se sustituyen en la fórmula las variables:
y-1 / x-1= 4-1 / 3-1
y-1 / x-1 = 3 / 2
y-1 = 3 (x-1) / 2
2y
– 2 = 3 x – 3
Y = (3x – 1) /2
2 Y – (3x-1) = 0
Ejemplo 2:
Determina
la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 1) y Q(0, 3)
Se sustituyen en la fórmula las variables:
y-1 / x-1= 3-1 / 0-1
y-1 / x-1 = 2 / -1
-y+1 = 2x - 1
0=
2x + y -2
·
Conociendo
su pendiente y un punto en ella
Al conocer la pendiente de la recta (m) y un punto
cualquiera de ella, como por ejemplo, la ordenada en origen (0, b) o n
en la fórmula principal puede señalarse que partiendo de la fórmula señalada
con anterioridad de la pendiente que:
y − y1 =
m(x − x1)
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Se llega a la ecuación de función afín, también
señalada como forma explícita de la
ecuación. Esta es la ecuación utilizada
cuando se conoce la pendiente de la recta (m) y la ordenada en origen (b).
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (7, 2) y tiene
pendiente m = – 5.
Utilizaremos la ecuación y = mx + b.
Se sustituye la m por la pendiente, en este caso
Para buscar el término independiente, se sustituyen esos
valores de x = 7, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (7) + b y se despeja b
2 = – 5 (7) + b
2 = – 35 + b
2 + 35 = b
b = 37
Se coloca dicho valor en la ecuación quedando y = – 5x + 37.
La cual también podemos expresar en su forma general: y +
5x – 37 = 0, y ordenada quedaría
5x + y – 37 = 0
·
Conociendo
un punto de ella y la ecuación de una recta paralela
Este caso es exactamente igual que en la sección anterior,
sólo que la pendiente se toma de la ecuación de la recta paralela, ya que como
se señaló en entradas del blog anteriores, las pendientes de las rectas
paralelas son iguales.
Ejemplo:
Hallar una recta
paralela a r ≡ x + 2y + 3 = 0, que pase por el punto
Z(3, 5).
Buscamos la
pendiente de la recta que sería:
y= -(x + 3)/2
m= -1/2
Ya conociendo la
pendiente y un punto buscamos el termino independiente:
Y=mx + b
5= -1/2(5) + b
5 +5/2 = b
b=15/2
Ahora
sustituimos la m y la b en la ecuación
Y= -1/2x +15/2
Y daría: 2y +x
-15= 0
Ejercicios
Referencias
Matemática tuya (2014) la recta. Algunas formas
de la ecuación. Recuperado el 8 de febrero de 2016 de http://matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S5.html
Wikipedia (s.f.) Ecuación general de la recta.
Recuperado el 8 de febrero de 2016 de https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#Ecuaci.C3.B3n_general_de_la_recta
